ТАНГЕНС [латинське tangens – той, що дотикається, tango – дотикаюсь] – назва однієї з основних тригонометричних функцій. Тангенсом гострого кута a (tg а) прямокутного трикутника є відношення катета, що лежить проти цього кута, до другого катета. При цьому tg a = ^{sin a}/_{cos a} . Ця функція непарна, періодична з найменшим періодом п. Таблиці тангенсів зустрічаються в астрономічному трактаті ал-Хорезмі (IX ст.)

Графік функції у = tg x, називають тангенсоїдою. Він складається з безлічі окремих віток, які перетинають вісь X у точках х =пn і мають асимптоти, перпендикулярні до осі X у точках х=(п+½)π

При х=(п+½)π  функція tg х неозначена. Графік тангенса для першої чверті кола зобразили Дж. Грегорі (1668) і І. Барроу (1674). Для двох обертів його побудував Р. Котс.

 

 

ТЕОРЕМА [грецьке (theorema), (theoreo) –. придивляюсь, спостерігаю] –  твердження, правдивість якого перевіряють за допомогою логічних міркувань, що спираються на аксіоми або на раніше доведені твердження, або на ті і другі. Міркування, що виявляють справедливість теореми, називають доведенням. У формулюванні теореми розрізняють дві частини: умову теореми (те, що дано) і висновок (те, що треба довести). Теорему називають оберненою до даної, якщо її умова є висновком, а висновок –умовою даної теореми. Наприклад, твердження: якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник прямокутний, є теоремою,, оберненою до теореми Піфагора. Проте не кожна обернена теорема справедлива. Наприклад, не буде справедливою теорема, обернена до такої: якщо число закінчується цифрою 5, то воно ділиться на 5. Якщо справедлива якась теорема і їй обернена, то ці теореми, називають взаємно оберненими. Справедливість умови будь-якої з них не тільки достатня, а й необхідна для справедливості   висновку. Теорему, умова і висновок якої є запереченнями умови і висновку даної, називають протилежною даній. Протилежна теорема рівносильна оберненій, а теорема, обернена до протилежної, рівносильна даній (прямій).

Теорему, в якій установлюється необхідна і достатня умова, при виконанні якої справедливий висновок теореми, називають іноді критерієм.

 

ТЕОРІЯ [від грецького (theoria) – спостереження, дослідження] – розділ якоїсь науки або наука, всі висновки якої об'єднані певними (спільними) ідеями, положеннями або випливають з певної системи аксіом. Наприклад, у математиці теорія ймовірностей, теорія чисел, теорія апроксимації тощо.

 

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ – розділ математики, що вивчає закономірності, яким підлягають випадкові події масового характеру. Основними поняттями теорії ймовірностей є поняття випадкової події і поняття ймовірності. Так, коли підкидають монету над підлогою, за однако­вих умов однаково можливі дві події: або монета впаде догори гербом, або протилежною стороною. Кажуть, що ймовірність кожної з цих подій дорівнює 0,5. Якщо кидати монету багато разів, то частота появи герба буде коливатись навколо 0,5, причому межі коливань звужу­ватимуться із зростанням числа випробувань. При обчисленнях імовірностей у найпростіших випадках широко використовують комбінаторику.

Теорія ймовірностей зародилася в XVI-XVII ст. із спроб дати теорію азартних ігор. Перші розрахунки ймовірностей проводили Н.Тарталья і Дж.Кардано, пізніше цими питаннями займались Г.Галілей, П.Ферма, Б.Паскаль, X. Гюйгенс, Р.Декорт. Важливу теорему (закон великих чисел), що сприяла розвитку теорії ймовірностей як науки, знайшов Я.Бернуллі. Його результати розвинули А.Муавр і П.Лаплас. Виключно важливу роль у розвитку теорії, ймовірностей мали відкриття П.Л.Чебишова та його учнів.  З теорією ймовірностей тісно  пов'язана математична статистика – розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизують, опрацьовують і застосовують статистичні дані для наукових і практичних висновків.

Теорія ймовірностей знаходить дедалі ширші застосування в багатьох питаннях математики, фізики, техніки економіки, біології, військової справи та ін.

 

ТЕТРАЕДР [від грецьких (tettares) –  чотири, у складних словах (tetra-) і  (hedra) – основа, поверхня, сторона] –  чотиригранник, усі грані якого трикутники, трикутна піраміда. Має 6 ребер, 4 вершини, у кожній вершині сходяться 3 ребра.

 

ТІЛА АРХІМЕДА. Так називають: кулю радіуса R, циліндр висотою 2R і радіусом основи R і конус, радіус основи якого R, а висота 2R. їх об'єми відносяться як 2:3:1; отже, в цьому випадку об'єм циліндра дорівнює сумі об'ємів кулі і конуса. Це встановив Архімед.

 

ТРАЄКТОРІЯ [від латинського trajectorius – той, що стосується переміщення] – лінія руху матеріальної точки (тіла). Наприклад, траєкторія польоту тіла, кинутого в пустоті під кутом до горизонту, є парабола, а в повітрі –  балістична крива [від грецького (ballo) –  кидаю], вивченням якої займається спеціальна галузь науки – балістика. Траєкторією точки кола, яке котиться по прямій без ковзання, є циклоїда. Траєкторії руху планет сонячної системи є еліпси; деякі комети рухаються по параболічних і гіперболічних траєкторіях. Багато ліній у математиці зручно розглядати як траєкторії руху точки на площині або в просторі.

 

ТРАНСПОРТИР [від латинського transportare – пере­носити] – прилад для вимірювання і відкладання кутів. Основною частиною транспортира є півколо, поділене на 180 частин – градусів. Якщо поділки дано в радіанах, то маємо радіанний транспортир.

Застосовують також процентний транспортир, кожна поділка якого становить соту частину (процент) усього кола; за його допомогою зручно будувати секторні діа­грами.

 

ТРАПЕЦІЯ [від грецького (trapedza) – стіл або (trapedzion) – столик] – чотирикутник, дві сторони якого паралельні (основи трапеції), а дві інші (бічні) не паралельні. Відрізок, що сполучає середини непаралельних сторін трапеції; називається середньою лінією трапеції і дорівнює півсумі основ. Площа трапеції дорів­нює добутку середньої лінії на висоту – відстань між основами. Трапеція з рівними бічними сторонами нази­вається рівнобедреною. Близьку до трапеції форму мають поперечні перерізи різних деталей, споруд (каналів, гре­бель) тощо.

 

ТРИГОНОМЕТРІЯ [від грецьких (trigonon) – трикутник або (metreo) – міряю, вимірюю] – буквально вимірювання трикутників. Так називається математична дисципліна, яка вивчається в середній школі. Її зміст охоплює вчення про тригонометричні функції і їх застосування до роз взування трикутників. Історія тригонометрії починається задовго до початку нашої ери. її розвиток тісно пов'язаний з потребами практики, особливо астрономії. Вже стародавні єгиптяни, як це видно з папіруса Ахмеса (XX- XVII ст. до н.є.), користувались відношенням між половиною діагоналі основи правильної чотирикутної піраміди і її бічним ребром, тобто косинусом кута, утвореного бічним ребром з площиною основи. Вавілонські вчені ще у XVIII ст. до н. є. передбачали затемнення Сонця і Місяця, для чого, безперечно, потрібні були деякі відомості з тригонометрії. Вавілонянам належить поділ кола на 360 частин, а їх шістдесяткова система числення довго панувала в тригонометрії. Потреби астрономії сприяли тому, що спочатку розвивалась сферична тригонометрія, а вже потім тригонометрія на площині. Окремі теореми триго­нометрії на площині є в «Началах» Евкліда (кн. II). Але основоположником тригонометрії вважається Гіппарх (II ст. до н.є.). Він склав перші таблиці хорд, що були за сучасною термінологією таблицями подвійних синусів половини центрального кута. Визначна заслуга в справі дальшого розвитку тригонометрії належить К. Птолемею з Александрії (II ст. н. є.), який у своєму творі «Велика побудова» («Альмагест») дав таблицю хорд для кутів від 0^о до 180°. В «Альма-гесті» вперше зустрічаються знаки для позначення мінут ' і секунд ". Знак ° з'явився пізніше. Греки знали теореми, що давали їм можливість знаходити результати, які тепер дістають за допомогою формул синуса суми, різниці двох кутів і синуса половини кута.

Після занепаду грецької культури значних результатів у розвитку тригонометрії досягли індійці.  Таблиці, складені ін­дійцями, були досить точними.

Наступний  етап у розвитку  тригонометрії  зв'язаний з   утворенням  Арабського  халіфату,   до  якого  ввійшли держави Середньої Азії, Близького Сходу, Північної Африки і Піренеїв. Видатна роль у розвитку  математичної науки в Арабському  халіфаті з IX по XV ст. належала народам Середньої Азії і Закавказзя. Розвиток тригоно­метрії починається з перекладів на арабську мову праць грецьких і  індійських   учених. Один  з  перших  відомих творів з тригонометрії належить ал-Хорезмі (IX ст.), якому були відомі поняття тангенса і котангенса.   Його сучас­ник ал-Марвазі (ал-Хабаш) склав таблиці тангенса і котан­генса, а також використовував поняття косеканса і склав для нього таблицю через 1°. Ал-Баттані (IX-X ст.) си­стематично   використовує  тригонометричні лінії,  розгля­даючи синус  від 0 до 180°.

В Європі Брадвардін (перша половина XIV ст.) перший застосував котангенс (umbra recta – пряма тінь) і тангенс (umbra versa – обернена тінь). У XV ст. Г. Пурбах склав но­ві таблиці синусів і тангенсів.

Дальшому розвитку тригонометрії сприяло багато ви­датних учених: М.Копернік, Ф.Вієт, Дж.Непер, Г.Брігс і багато інших. Термін «тригонометрія» зустрічається вперше в заголовку праці Б.Пітіскуса (1595), яку можна вважати першим підручником з тригонометрії.

Величезний внесок у тригонометрію зробив Л.Ейлер. У «Вступі до аналізу» (1748) він, вивівши всі формули три­гонометрії з кількох основних, поклав початок аналітичній науці про тригонометричні функції. Ейлер встановив зв'я­зок тригонометричних функцій з показниковими (у ком­плексній області), дав загальну формулу зведення кутів до найменшого аргумента і т. д. Праці Ейлера стали науковою основою для створення передових для того часу підручни­ків з тригонометрії, від яких мало відрізняються сучасні.

 

ТРИКУТНИК – многокутник з трьома сторонами, тобто частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією, яка складається з трьох відрізків пря­мої (іноді сама ця ламана); одна з основних фігур у гео­метрії. Трикутник з вершинами А, В і С позначають ΔABC. Трикутники класифікують за сторо­нами (рівносторонні, або правильні, рівнобедрені, різносторонні) або за величиною кутів (гострокутні, прямокутні, тупокутні). У трикутнику розглядають: висоти (відрізки перпендикулярів, проведених з вершин трикутника до відповідних сторін або до їх продовжень), медіани, бісек­триси, середні лінії, а також точку перетину висот (ортоцентр), медіан (барицентр), бісектрис (центр впи­саного кола) тощо. Площа трикутника дорівнює половині добутку однієї з його сторін на відповідну висоту. Трикутники і їх теорія мають важливе теоретичне і практичне значення. Завдяки жорсткості трикутників їх форму мають елементи майже кожної будівельної кон­струкції. Основні властивості трикутника і його елементів були відомі ще в стародавні часи і систематично викла­дені в «Началах» Евкліда.

 

ТРИКУТНИК ЄГИПЕТСЬКИЙ – прямокутний трикутник з сторонами 3, 4 і 5  (див. Піфагорові  числа).   Вважають, що єгипетські землеміри будували прямі кути за допомогою вірьовки з 12 вузлами на ній, однаково віддаленими один від одного. Мабуть, тому і самі землеміри називалися гарпедонаптами, що  в дослівному перекладі означає – натягувачі вірьовки. В окремих випадках таким прийомом побудови прямого кута користуються ще й тепер.

 

ТРИКУТНИК ПАСКАЛЯ,   або  арифметичний  трикутник, – числова таблиця з біноміальних коефіцієнтів, яка має форму рівнобедреного (або прямокутного) трикутника. Кожний рядок фігури починається і закінчується одиницею, а інші його числа утворюються додаванням двох сусідніх чисел  попереднього рядка.   Рядок з номером п+1 містить послідовні біноміальні коефіцієнти для показника п. Є підстави вважати, що цей трикутник  був відомий індійцям ще в  II ст. до н.є., а китайцям – у VIII ст. н.є. Він зустрічається також у Омара Хайяма (XI-XII ст.). Його знову відкрив Б. Паскаль (1654) і подав у книзі «Трактат про арифметичний трикутник» (опублікована посмертно в 1665 p.), звідки й пішла назва «Трикутник Паскаля». 

                 1

               1  1

             1  2  1

           1  3  3   1

        1   4   6   4  1

      1  5  10  10  5  1

   1  6  15  20  15  6  1

 

УМОВИ НЕОБХІДНІ І ДОСТАТНІ – критерій істин­ності або хибності якогось твердження. Нехай є два твердження U і V і справедлива теорема: якщо є U, то є і V. Істинність твердження U є достатньою умовою для істинності V, а істинність V є необхідним наслідком (необхідною умовою) істинності U. Наприклад, твердження «ціле число закінчується нулем» є достатньою умовою для істинності твердження «це число ділиться на 5», а останнє є необхідним наслідком першого.

Необхідну і достатню умову записують у вигляді теореми: «Для того щоб було U, необхідно і достатньо, щоб було V», або «U буде тоді і тільки тоді, коли буде V».

Наприклад: ціле число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується нулем або п'ятіркою; для того щоб даний трикутник був прямокутним, необхідно і достатньо, щоб квадрат його найбільшої сторони дорівнював сумі квадратів двох інших сторін.

ФАКТОРІАЛ [англійське factorial, від factor – множник (від латинського factor –  той, що робить, виробляє)] –  добуток послідовних чисел натурального ряду від 1 до п.

Позначається п! Поняття факторіала широко використовують у теорії сполук, при розкладанні функцій в ряди, в теорії наближених обчислень тощо. Його поширюють на нецілі значення п (раціональні, ірраціональні, комплексні).

 

ФІБОНАЧЧІ ЧИСЛА – елементи послідовності, яка починається з двох одиниць, а кожний її наступний член дорівнює сумі двох попередніх:

1,  1, 2, 3, 5, 8.  13, 21, 34, 55,  ... .

Цю послідовність називають рядом Фібоначчі (його мож­на починати також з 0 і 1). Уперше цей ряд зустрічається в книзі Леонардо Пізанського (Фібоначчі) «Liber abaci» («Книга про абак») (1202) у зв'язку з задачею про потомство однієї пари кролів. Числа Фібоначчі мають багато цікавих властивостей. Наприклад, вони тісно пов'язані з біноміальними коефіцієнтами, з золотим перерізом.

 

ФІГУРА [латинське figora – образ, вигляд]. У геометрії фігурою або геометричним образом взагалі називають будь-яку сукупність точок. Розрізняють плоскі фігури, утворені точками однієї площини – пряма, ламана, відрізок прямої, коло, круг, трикутник тощо, і просторові фігури –  куля, сфера, конічна поверхня і т. д.

 

ФОКУС [латинське focus –  вогнище]. Фокусом кривої другого порядку називають таку точку площини, в якій лежить ця крива, що відношення її відстані від довіль­ної точки даної кривої (еліпса, гіперболи, параболи) до відстані цієї точки кривої до деякої прямої –  дирек­триси – є величина стала. Криві другого порядку мають два фокуси (другий фокус параболи –  нескінченно відда­лена точка). Фокальними радіусами точки кривої нази­вають відрізки, що сполучають цю точку з фокусами. Вони утворюють з дотичною до кривої в даній точці рівні кути. Отже, промінь світла, що виходить з одного фокуса, відбившись від еліптичного дзеркала, пройде через другий фокус, у випадку параболічного дзеркала –  піде паралельно осі параболи, а продовження променя, відбитого від гіперболічного дзеркала, пройде через дру­гий фокус. Це обумовлює широке застосування поверхонь, утворених обертанням цих кривих (особливо параболи), в оп­тичних приладах. В оптиці фокус – це точка, в якій перетинаються всі промені, що падають на оптичну систему паралельно її головній оптичній осі.

 

ФОРМУЛА [латинське formula –  правило, спосіб] –  записане за допомогою знаків математичних певне пра­вило, звичайно зведене до найпростішого вигляду, де зазначено, які операції і в якому порядку треба виконати над даними величинами, щоб дістати значення шуканої величини.

 

ФУНКЦІЯ [від латинського functio – діяльність, виконання]. Одне з основних понять математики, що харак­теризує залежність одних змінних величин від інших. Важливість поняття функції визначається тим, що воно відповідає особливостям природи, реального світу, де все, безперервно змінюючись, перебуває у взаємному зв'язку. Вивчення законів реального світу за допомогою математики зводиться по суті до вивчення різних функціональних залежностей – різних функцій.

Як і інші поняття математики, поняття функції формувалося протягом досить довгого часу. Вперше в явній формі його розглядав Р.Декарт одночасно з відкриттям геометрії аналітичної (1637). Він, як і інші математики XVII ст., кожну функцію уявляв у вигляді деякої лінії; ордината точки на даній лінії є функція її абсциси. Таке саме інтуїтивне геометричне тлумачення поняття функції було в Г.Лейбніца, якому належить і сам термін (1692). До другої половини XVIII ст. поняття функції пов'язувалось або з геометричним її зображенням, або з аналітичним. Хоч у такому вигляді воно й було не пов­ним і не точним, проте довгий час відігравало позитивну роль як для математики в цілому, так і для дослідження самого  поняття.

До сучасного означення функції однієї змінної близько підійшов М.І.Лобачевський. можна подати так. Нехай є дві числові множини X і Y. Якщо зазначено закон або правило, Задати функцію y = f(x) – це означає вказати мно­жину X і той закон, за яким для кожного елемента х € X можна знайти відповідне значення у.

В школі, використовують менш точне, але більш доступне означення: змінна величина у називається функцією змінної величини х, якщо кожному (допустимому) значенню х відповідає певне зна­чення у.

 

ХОРДА [від грецького (chorde)  струна] –  від­різок прямої, що сполучає дві точки якої-небудь кривої. Середини паралельних хорд конічного перерізу лежать на одній прямій – діаметрі цього перерізу; зокрема, середини паралельних хорд параболи лежать на прямій, паралельній її осі. Таке означення діаметра дає змогу розширити й узагальнити це поняття. Так, діаметр гіпер­боли (в цьому розумінні) може зовсім не мати спільних точок з гіперболою, а кожний діаметр параболи має з нею тільки одну спільну точку.

 

ЦЕНТНЕР [німецьке (Centner), від латинського centum –  сто] – одиниця ваги (маси) в метричній системі мір (позначається ц). 1 ц = 100 кг = 0,1 т.

В Англії 1 ц =45,3592 кг, у Німеччині, Швейцарії і Данії 1 ц = 50 кг.

 

ЦЕНТР [від грецького (kentron) –  вістря, гострий кінець палиці] – так спочатку називали ніжку цир куля, а потім і точку, яку ця ніжка відмічала. У геометрії центром кола (сфери) називають точку, однаково віддалену від усіх точок кола (сфери). Це поняття поширюють на інші фігури (еліпс, гіперболу, правильні многокутники і многогранники), називаючи центром фігури її центр си­метрії.

Термін «центр» використовують також у поняттях центр гомотетії, центр проекцій, центр ваги тощо.

 

ЦИЛІНДР [від грецького (kylindros) –  вал, каток] – тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами – основами циліндра. Циліндр називають прямим, якщо ці площини перпендикулярні до твірних циліндричної поверхні, і прямим круговим, якщо при цьому вони перетинають циліндричну поверхню по колах. Інакше, прямим круговим циліндром називають тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони (осі циліндра). Прямий круговий циліндр визна­чається радіусом основи і висотою (відстанню між основами). 

                                                                                                 А-В  Г-З  I-Л П Р-С T-Ц