Вівторок, 23.05.2017, 19:57
Вітаю Вас Гість | Реєстрація | Вхід

Історична мозаіка в математиці

Меню сайту
Форма входу

Календар
«  Травень 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбНд
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031
Наше опитування
Яка сторінка на сайті Вас найбільше зацікавила?
Всього відповідей: 956
Пошук
Статистика
Статистика

Онлайн всього: 1
Гостей: 1
Користувачів: 0

Наше опитування
Чи доводилося Вам використовувати знання отримані на уроках математики поза межами цих уроків?
Всього відповідей: 570
Наша кнопка

Історична мозаіка в математиці

Друзі сайту
Архів записів

Піфагор Самоський (близько 580—500 pp. до н. е.)


Після Фалеса Мілетського визначну роль у розвитку математики відіграв видатний представник еллінської культури – філософ і математик Піфагор. Точних історичних даних про життя і діяльність Піфагора не збереглося. 

За переказами, Піфагор народився близько 580 р. до н.е. на о.Самос біля іонійського узбережжя Середземного моря, в багатій купецькій сім'ї. Перші наукові знання він здобув від ученого Ферекіда з м. Сіроса. Згодом Піфагор познайомився з уже відомим на той час філософом-математиком Фалесом і за його порадою вирушив до Єгипту центру тодішньої наукової і дослідницької діяльності. Проживши в Єгипті 22 роки і у Вавілоні 12 років, він здобув глибокі знання з природни­чих і математичних наук. Повернув­шись на о. Самос, Піфагор плану­вав створити філософську школу. Але з невідомих причин він незаба­ром залишив Самос і оселився в м. Кротоні — грецькій колонії на півдні Італії. Тут Піфагор знайшов сприятливі умови для своєї діяльно­сті. Він зібрав навколо себе групу однодумців, головним чином аристо­кратів, і створив таємний гурток. Члени гуртка вивчали різні питан­ня філософії і математики. Піфагорійська школа розширювалася, з'явилися її відділення в інших міс­тах. Але діяльність піфагорійців мала таємний характер. Нових чле­нів до школи Піфагора приймали за особливим ритуалом. Кожний новий член гуртка давав клятву зберігати в таємниці все, що відбувається у школі, а також не розповідати ні­чого про її засновника   Піфагора, якого вважали пророком. Члени пі­фагорійської школи мали спеціаль­ний знак пентаграму (правильний п'ятикутник), за яким вони впізнавали один одного.

Щоб зрозуміти роль піфагорій­ської школи в розвитку математич­ної науки, слід охарактеризувати її філософське вчення. Піфагорійці вважали, що в природі існують дух і матерія, і надавали числам містич­ного значення. Вони гадали, що речі — це відображення чисел, чис­ло — це закон і зв'язок світу, це си­ла, яка керує богами і смертними. Тому природу і всевладну силу чис­ла можна бачити не тільки в ділах божих, а й в усіх людських занят­тях — мистецтві, ремеслах, музиці.

Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжи­ни. Він визначив також, що коли довжини струн відносяться як 6:4:3, то при одночасному звучанні вони дають приємний гармонійний акорд; якщо ж ці числа змінити, то зву­кова гармонія порушується.

Піфагор поширив закон гармонії на інші явища природи, узагальни його. Але це привело до деяких неправильних висновків. Наприклад, піфагорійці вважали, що радіуси небесних сфер (їх вони налічували 10), обертаючись навколо «центрального вогню», перебувають у такому самому відношенні, як і довжини струн, що утворюють гармонію. Вони твердили, що небо є число і гармонія. Позитивним тут був здогад про те, що земля рухається.

Виходячи із своїх ідей, піфагорійці проводили дослідницьку робот в математиці. Вони комбінували числа і, надаючи їм містичного значення, ділили їх на числа добрі непарні числа; злі парні числа: досконалі кожне з яких дорівнює сумі своїх дільників (якщо з числа дільників виключити саме число). Наприклад, досконалим числом є 6 ( бо сума його дільників 1, 2, 3 дорівнює шести. Числа дружні це числа, з яких одне дорівнює сумі дільників другого, але також без цього самого числа. Були в них числа пірамідальні, многокутні т. д. Зокрема, прямокутним називали ціле число, що дорівнює добутку двох інших цілих чисел. Піфагор геометрично довів, що суми послідовних непарних чисел починаючи з одиниці, є точними квадратами. Наприклад, 1+3 = 4  = 22, 1+3+б = 9 = 32, 1+3 + 5 + 7  = 16 = 42, 1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 і т. д.

Вивчаючи натуральний ряд чисел піфагорійці встановили таку власти­вість сум послідовних чисел: 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 і т. д. Піфагор багато займався пропор­ціями і прогресіями. Піфагорійці розрізняли три види пропорцій: ари­фметичну, геометричну і гармонічну.

Отже, Пі­фагора та його учнів числа цікави­ли тільки в теоретичному плані. Вивчення дій з числами піфагорійців цікавило мало.

Але дослідження, проведені піфа­горійцями над числами та їх влас­тивостями, поклали початок новій науці геометричній алгебрі. Вели­чини розглядалися тут як відрізки. Це мало величезне значення для дальшого розвитку математики.

Дослідження Піфагора та його учнів у галузі геометрії також були досить успішними. Але і в геометрії вони шукали підтверджень своїх філософських ідеалістичних погля­дів і відповідно пояснювали геомет­ричні істини. Так, піфагорійці твер­дили, що всі геометричні тіла виз­начаються співвідношенням їх чис­лових характеристик. Куб, напри­клад, визначається числами 2, 6 і 8 за кількістю ребер, граней і вершин.  

Велику увагу піфагорійці приді­ляли дослідженням властивостей прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Можна припустити, що найпрості­ший з таких трикутників, так зва­ний єгипетський трикутник з сторо­нами 3, 4, 5, був відомий Піфагору ще з часів його подорожі до Єгипту. Прямокутний трикутник піфаго­рійці вважали найкращою і найдо­сконалішою фігурою. Одним із способів побудови такого трикутника був поділ правильного трикутника пополам. Прямокутні трикутники, довжини сторін яких — цілі числа, утворюють окремий клас, для якого справджується теорема, названа ім'ям Піфагора, хоч вона була відо­ма задовго до нього вавілонянам. За теоремою Піфагора сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.  

Можливо, що вивчення властивос­тей прямокутних трикутників приве­ло піфагорійців до відкриття несу­мірності відрізків. Але це відкриття суперечило філософській теорії про «гармонію світу». Виявилося, що числом не можна виміряти довжину прямолінійного відрізка — діагоналі квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Пояснити це Піфагор та його учні не могли, тому і тримали своє відкриття в суворій таємниці.

Збереглась легенда, що один з піфагорійців, Гіпас, розголосив таємницю про ірраціональне число. Покараний богами за зраду, він загинув у морі під час бурі.

Піфагорійці знали, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d, що  навколо однієї точки на площині можна розмістити 4 квадрати, 6 правильних трикутників, 3 правильні шестикутники. Вони вміли будувати правильний п'ятикутник, цей спосіб побудови до нас не дійшов.

Евклід у своїх творах приводить новий спосіб побудови такого трикутника, в якому не застосовується поділ радіуса описаного кола в кратному і середньому відношенні. Він спочатку будує вписаний рівнобедрений трикутник, у якому і при основі вдвоє більші від кута при вершині. Кути при основі мають по 72°, а при вершині — 36°. Якщо провести бісектриси кутів при основі, то коло поділиться на 5 рівних частин. (Це окрема задача).

Можливо, що піфагорійцям цей спосіб побудови правильного вписаного п'ятикутника був відомий.

Побудови правильних плоских фігур, зокрема п'ятикутника, а отже, і десятикутника, безпосередньо під­вели піфагорійців до побудови пра­вильних многогранників. За свідчен­нями деяких істориків Піфагор і йо­го учні вміли будувати всі п'ять видів правильних многогранників і, зокрема, такі складні многогранники, як додекаедр або ікосаедр. Це було на той час значним досягненням.

Деякі з істориків пізнішого часу свідчили, що піфагорійцям було ві­доме поняття ізопериметрії. Най­простіша ізопериметрична задача — це знаходження серед усіх кривих даного периметра тієї кривої, яка обмежує фігуру найбільшої площі. Піфагорійці знали розв'язок цієї за­дачі: кривою є коло. Просторовим аналогом ізопериметричної задачі є задача про відшукання замкненої поверхні заданої площі, яка обме­жує тіло найбільшого об'єму. Шука­ною поверхнею є сфера. При цьому, на догоду своїм релігійним уявлен­ням про світ, вони стверджували, що куля є найблагородніша просто­рова фігура, а круг — найдосконалі­ша плоска фігура.

В оцінці діяльності піфагорійців думки вчених розходяться, бо ні­яких письмових документів їхньої школи не залишилось. Проте з впе­вненістю можна вважати, що Піфа­гор та його учні своїми досліджен­нями внесли вагомий вклад у роз­виток еллінської культури.