Неділя, 19.11.2017, 04:21
Вітаю Вас Гість | Реєстрація | Вхід

Історична мозаіка в математиці

Меню сайту
Форма входу

Календар
«  Листопад 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбНд
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930
Наше опитування
Яка сторінка на сайті Вас найбільше зацікавила?
Всього відповідей: 959
Пошук
Статистика
Статистика

Онлайн всього: 1
Гостей: 1
Користувачів: 0

Наше опитування
Чи доводилося Вам використовувати знання отримані на уроках математики поза межами цих уроків?
Всього відповідей: 572
Наша кнопка

Історична мозаіка в математиці

Друзі сайту
Архів записів

Архімед (287 – 212 р. до н.е.)

Народився Архімед близько 287 року до н. е. в Сіракузах на острові Сіцілія. Здобувши освіту у свого батька — астронома і математика Фідія, Архімед переїхав до Александрії удосконалювати свої знання з математики й астрономії. Тут він зблизився з учнями Евкліда — математиком Ератосфеном, астрономом Кононом і Досіфеєм. Повернувшись до Сіракуз, Архімед підтримував зв’язки з цими вченими. Частина його праць дійшла до нас у вигляді листів до видатних математиків.

Наукова діяльність Архімеда була пов'язана з життєвими потребами батьківщини. Учений проводив дослідження у галузі математики, фізики, механіки, астрономії, За переказами, він так захоплювався наукою, що забував навіть про їжу. Архімед був також видатним інженером-винахідником і брав безпосередню участь у підготовці оборонних споруд. Під час другої Пунічної війни він керував оборо­ною рідного міста. Війна велася між римлянами і карфагенянами (пупами), грецькі Сіракузи висту­пали на боці карфагенян. Коли рим­ське військо почало наступ з моря і суші, Архімед привів у дію скон­струйовані ним метальні машини. На сухопутне військо з величезною силою і швидкістю посипалося ка­міння. Цілі підрозділи ворогів па­дали на землю, руйнуючи свої бо­йові порядки. Водночас у море по­летіли з кріпосних стін важкі балки, зігнуті у вигляді рогів. Від їх силь­них ударів кораблі йшли на дно. Великі гаки, ніби залізними руками піднімали кораблі високо в повітря і кидали їх кормою в море або на скелі біля стін міста. Римське вій­сько було дуже налякане. Побачив­ши над стіною міста якусь палицю або канат, воїни кричали: «Ось, ось воно!» і з жахом розбігалися.

Грецький геометр і філософ Прокл, який жив у V ст. н. е., писав, що Архімед, крім описаних бойових машин, сконструював ще й таку, яка за допомогою системи дзеркал знищувала ворожі кораблі на морі.

Усе це змусило римлян відмови­тися від спроби захопити місто штурмом і перейти до блокади.

Восени 212 p., коли римляни на­решті оволоділи Сіракузами, Архі­мед трагічно загинув. Давньогрець­кий письменник Плутарх розповідає, що Архімед сидів, розмірковуючи над якоюсь геометричною фігурою, коли перед ним з’явився римський солдат і зажадав, щоб він пі­шов з ним до Марцелла (воєна­чальника). Але вчений відповів, що піде до Марцелла лише тоді, коли розв'яже задачу. Солдат обурився, вихопив меч і вбив Архімеда. Є й інші версії смерті видатного мате­матика і механіка.

До нас дійшли дев'ять праць Ар­хімеда, а саме: «Про кулю і ци­ліндр», «Про вимірювання круга», «Про коноїди і сфероїди», «Про спі­ралі», «Про рівновагу площин», «Про число піщинок», «Про квадра­туру параболи», «Про плаваючі ті­ла» і «Леми».

Частина праць Архімеда загину­ла. З висловлювань деяких авторів і самого Архімеда можна зробити висновок, що загинули такі твори: «Про основи лічби», «Про много-гранники», «Про терези», «Про ва­желі». Не збереглися твори Архіме­да з оптики й астрономії, а також його міркування про календар.

Мабуть, найпершим твором Архі­меда був твір «Начала», в якому він виклав свої міркування про об­числення і лічбу. Збереглися лише окремі уривки з цього твору. Грець­ка система числення була важкою, недосконалою й незручною, бо ста­родавні греки позначали числа бук­вами алфавіту. Щоб відрізнити їх від букв тексту, вони користувались ще різними значками, рисками то­що. Архімед намагався вдосконали­ти ці обчислення і привести їх до певної системи. Відповідні мірку­вання він виклав у другому своєму творі «Псамміт» («Про число піщи­нок»). Він робить тут спробу обчис­лити, скільки піщинок містилося б у «всесвіті», тобто у сфері, центром якої була б Земля і яка охоплюва­ла б усі нерухомі зорі. Розв'язуючи цю задачу, Архімед створив систе­му числення, яка давала можливість зобразити числа довільної величи­ни. Буквами грецького алфавіту греки могли записати всі числа від 1 до 999; якщо застосувати допо­міжні знаки (коми, букву для по­значення десятків тисяч і т. д.), то можна було зобразити всі числа від 1 до 108-1. Число 108 дістало назву октади Архімеда. Розроблена Архімедом система числення не була позиційною, бо не мала нуля.

Принципово нові ідеї і методи Архімед виклав у праці «Вимірювання круга». Учені намагалися і до Архімеда встановити величину відношення довжини кола до діаметра.

Архімед у своїх дослідженнях виходить з того, що довжина кола міститься між довжинами периметрів правильних вписаних і описаних многокутників з однаковою кількістю сторін і, якщо число сторін цих многокутників необмежено подвоювати, то їх периметри наближати­муться до своєї границі – довжини кола. Архімед почав робити обчислення з правильних шестикутників і довів його до правильного 96-кутника. Він довів, що коли діаметр кола взяти за одиницю, то величина периметра  правильного  вписаного 96-кутника буде більшою від 3 10/71   а величина периметра правильного описаного 96-кутника буде меншою за 3 1/7 . Архімед у знайшов, що  "Пи"=3,14 з точністю до 0,01. Це значення числа "Пи" , тобто 22/7 називають Архімедовим.

У цій праці Архімед застосував знайдений ще Евдоксом метод, який дістав назву методу вичерпування.

Площу круга Архімед знаходить таким самим методом: він вписує круг і описує навколо нього правильні многокутники, поступово подвоюючи число їх сторін. Площа вписаного многокутника із збільшенням числа його сторін збільшу­ється, наближаючись до площі кру­га, яка нібито поступово «вичерпу­ється» (звідки й назва «метод вичерпування»). Площа описаного многокутника, навпаки, зменшуєть­ся. В обох випадках площі много­кутників будуть наближатись до площі круга. Доведення за допомо­гою методу вичерпування базується на тому, що різниця площ многокут­ників може стати меншою від як завгодно малої наперед заданої ве­личини.

Визначення площі круга Архімед починає з доведення теореми, відо­мої ще до Евкліда: площа круга до­рівнює площі прямокутного трикут­ника, в якого більший катет дорів­нює довжині кола, а менший – ра­діусу круга. Це доведення, яке про­водиться методом від супротивного, зводиться до доведення тверджень, що площа круга не може бути ні більшою, ні меншою за площу та­кого трикутника. Архімед успішно застосовує метод вичерпування і для знаходження площі параболічного сегмента, тобто площі, обмеженої дугою параболи і хордою.

Ці дослідження Архімеда були першим кроком на шляху до аналі­зу нескінченно малих величин.

У праці «Про циліндр і кулю» Архімед також застосовує метод ви­черпування для визначення повер­хонь і об'ємів круглих тіл – цилінд­ра, конуса і кулі.

Про свої відкриття Архімед пи­сав математикові Досіфею: «Я до­вів, що поверхня всякої кулі в чоти­ри рази більша від площі її вели­кого круга, що об'єм циліндра, основа якого дорівнює площі вели­кого круга кулі, а висота – діамет­ру кулі, в півтора рази більший від об'єму цієї кулі, а його поверхня (включаючи і площі основ) у півто­ра рази більша від поверхні кулі; піраміда дорівнює третині призми, якщо вони мають рівні основи і ви­соти, а конус – третині циліндра (про конус знав і Евдокс). Зрозу­міло, що ці властивості тіла мали завжди, але видатні геометри, які жили до Евдокса, не знали цих вла­стивостей і ніхто з них не відкрив їх». Ці відкриття Архімед вважав дуже важливими і висловлював ба­жання, щоб на його могилі встано­вили пам'ятник, на якому був би зображений циліндр з вписаною в нього кулею.

У 1906 р. датський філолог і ма­тематик Гейберг, вивчаючи старо­грецькі рукописи у бібліотеках Стамбула (Туреччина), натрапив на звиток, у якому були три не відомі до того твори Архімеда: дві праці «Про плаваючі тіла» і одна праця, в якій Архімед висловлює думки про механічні методи дослі­джень, так званий «Ефодік». У тво­рі «Ефодік» вміщено лист Архімеда до відомого математика Ератосфена. В ньому Архімед пише: «Оскіль­ки, звичайно, я в твоїй особі... ціную дуже серйозного вченого і видатно­го філософа, то я вважаю за до­цільне висвітлити в цій книзі своє­рідний метод і так пояснити його, щоб ця праця послужила і для тебе стимулом у дослідженнях деяких математичних питань за допомогою механіки». Справді, Архімед спочат­ку застосовував метод зважування на рівноплечому  важелі,  а  потім проводив геометричне доведення ме­тодом вичерпування.

Особливо важливий твір Архіме­да «Про плаваючі тіла». У ньому викладено закони гідростатики, які не втратили свого значення й до на­ших днів. Існує цікава легенда про історію відкриття «закону Архіме­да». Сіракузький цар Гієрон нака­зав майстрові виготовити корону з чистого золота. Коли корона була готова, цар доручив Архімедові пе­ревірити, чи справді це чисте золо­то. Архімед довго міркував над тим як це зробити, але нічого не міг придумати, адже корона мала неправильну форму і тому не можна було обчислити її об'єм. Одного разу, купаючись у ванні, Архімед звернув увагу на те, що його тіло у воді стає легшим. Раптом йому спало на думку, як можна розв'язати поставлену проблему. Він так розхвилювався що вискочив з ванни і побіг вулицею, вигукуючи: «Еврика, еврика! («Знайшов, знайшов!»). І справді, зваживши у воді спочатку кусок чистого золота, кусок срібла, потім корону, Архімед установив, що корона була не з чистого золота.

У книжці «Про рівновагу і визначення центра ваги плоских фігур» Архімед уперше доводить відоме правило важеля: нерівні тягарі перебувають у рівновазі на важелі, якщо відстані центрів тягарів від точки опори важеля обернено пропорційні їх вагам. У цій самій праці Архімед визначає центри ваги прямокутників, паралелограмів, трикутників і т. д. Є всі підстави припускати, що тут він установив саме поняття центра ваги тіла: це така точка, в якій досить підтримати тіло, щоб воно було в рівновазі у будь-якому положенні.

Цікаві властивості встановив Архімед, досліджуючи спіральні лінії, такі були відкриті його другом Кононом. Криві цього виду мають назву архімедових спіралей, бо саме Архімед відкрив і довів найголовніші властивості їх.

Архімедова спіраль утворюється рівномірним рухом точки по прямій і одночасним рівномірним обертанням цієї прямої навколо однієї із своїх точок.

Архімедову спіраль використову­ють у техніці як профіль кулачка в кулачкових механізмах, у самоцентруючих патронах металооброб­них верстатів тощо.

Слід згадати ще про винайдений Архімедом гідравлічний гвинт. Це відкрита з обох боків циліндрична труба, по осі якої обертається вал з гвинтовою поверхнею. Гідравлічний гвинт застосовують для підні­мання рідин, сипких тіл тощо. Ре­конструйовані і вдосконалені гвин­ти Архімеда і нині рухають морські кораблі, гвинтові літаки та вертольоти, гідротурбіни тощо.

Є певні відомості, що Архімед розробляв питання оптики (залом­лення світла) і астрономії. Виготов­лена Архімедом модель небесної сфери створювала правдиву карти­ну руху небесних світил. Ціцерон (давньоримський політичний діяч і оратор І ст. до н. е.) свідчить, що він бачив цю дивну модель на влас­ні очі.

На закінчення слід підкреслити, що творчість Архімеда становить ці­лу епоху в розвитку математики взагалі. Архімед, створивши метод вичерпування, вніс величезний вклад у ту галузь математики, що зараз займається аналізом нескінченно малих величин. Він створив першо­основу для успішного розвитку но­вої математики в блискучих працях Ньютона, Лейбніца та інших мате­матиків XVII ст. у галузі інтеграль­ного та диференціального числень.