Неділя, 28.05.2017, 09:43
Вітаю Вас Гість | Реєстрація | Вхід

Історична мозаіка в математиці

Меню сайту
Форма входу

Календар
«  Травень 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбНд
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031
Наше опитування
Яка сторінка на сайті Вас найбільше зацікавила?
Всього відповідей: 956
Пошук
Статистика
Статистика

Онлайн всього: 1
Гостей: 1
Користувачів: 0

Наше опитування
Чи доводилося Вам використовувати знання отримані на уроках математики поза межами цих уроків?
Всього відповідей: 570
Наша кнопка

Історична мозаіка в математиці

Друзі сайту
Архів записів

Евклід (ІV-ІІІ ст. до н.е.)

Під час завойовницьких воєн цар Олександр Македонський заснував багато міст. Деякі з них, особливо Александрія, значно розвинулись. Грецькі архітектори збудували Александрію за докладно розробле­ним планом. Місто перетинали під прямим кутом дві магістралі. Тут були широкі вулиці й прямокутні квартали. Головна вулиця мала ши­рину 30 м і довжину 5,5 км. Близь­ко третини міста займали царські палаци, храми, будинки жерців, вельмож і багатіїв.

Після смерті Олександра Маке­донського його величезна держава розпалася. Єгиптом почала правити династія грецьких царів Птолемеїв. Щоб звеличити себе і підвладну державу, цар Птолемей І запрошу­вав до Александрії учених, поетів, скульпторів і філософів. Для них був збудований розкішний палац при храмі Муз – дев'ятьох  супутниць бога Аполлона. У греків ці Музи вважалися охоронцями наук і мистецтва, тому збудований пала) назвали Музейоном. Учені жили там на повному царському утриманні і займалися тільки науковими дослідженнями, філософією, поезієї і мистецтвом. Музейон був центром наукового і культурного життя Єгипту, своєрідною академією наук.

Він приваблював до себе освічених людей, учених та поетів і своєї чудовою бібліотекою, у сховища якої зберігалось понад п'ятсот тисяч рукописів. Серед учених, що жили і працювали у Музейоні, було багато грецьких математиків – Ератісфен, Герон та інші. Та найбільше для розвитку математики зробив геометр Евклід.

Історія не зберегла для нас достовірних відомостей про життя цього видатного вченого. Вважають, що Евклід народився в Афінах близько 325 р. до н.е. і на запрошення царя Птолемея І на початку III ст. до н.д. прибув до Александрії.

Працюючи в бібліотеці Музейону і упорядкуванням математичних манускриптів, Евклід створив славнозвісну працю з математики, яку назавав «Начала».

«Начала» Евкліда складаються з «книг»-сувоїв. Перші шість книг присвячені планіметрії, VII-X книги – арифметиці і несумірним величинам, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, XI-Х –стереометрії. І книга починається викладом 23 означень і 10 аксіом, причому перші п'ять з цих аксіом називаються «загальними поняттями», а решта – «постулатами» ( у різних списках «Начал» є різні кості аксіом і постулатів). Дальші означення містяться у вступах до інших книг. Формулюючи постулати, Евклід користується співвідношеннями рівності, які означаються «загальними поняттями» – аксіомами. Під розв'язанням задач Евклід розумів побудову за допомогою циркуля та лінійки. Зокрема, для Евкліда знайти площу або об'єм означало побудувати циркулем і лінійкою квадрат чи куб потрібної площі об'єму.

«Начала» Евкліда закінчувались побудовою за допомогою циркуля і лінійки ребер п'яти правильних многогранників, вписаних у сферу даного радіуса, і дослідженням здобутих несумірних величин.

Видатний учений подолав неабиякі труднощі, щоб систематизувати, узагальнити та довести багато складних  співвідношень  між  еле­ментами просторових і плоских фі­гур, які виражаються деякими чис­лами.

У той час ще не було не тільки буквеної символіки, а навіть знаків дій додавання, віднімання тощо. Усе записували словами та зображува­ли геометричними малюнками.

Тепер, користуючись запровадже­ною в XVI—XVII ст. буквеною сим­волікою, ми швидко і легко ви­водимо найрізноманітніші формули, які виражають залежності між різ­ними, у тому числі й геометричними, величинами. Наведемо хоч би такий приклад. Кожний учень 7 класу може швидко вивести формулу, за якою обчислюється квадрат суми двох чисел. Для цього досить суму чисел, позначених буквами, помно­жити саму на себе, тобто

(a + b)(a + b) =a2 + 2ab + b2.

Цю саму формулу Евклід виво­дить геометрично. Він пропонує на відрізку АВ побудувати  квадрат ABCD. Через точку Е (яка ділить АВ на два від­різки а і в) провести ЕР||ВС, побу­дувати діагональ BD і провести че­рез О пряму КМ||АВ. Потім дово­дить таку теорему:

«Якщо дану пряму АВ поділити у будь-якій точці на два відрізки, то квадрат, побудований на цілій лінії, дорівнює двом квадратам і двом прямокутникам, побудованим на цих відрізках».

Суть міркувань полягає в обґрунтуванні того, що чотирикутники МВЕО і POKD квадрати, з чого випливає, що чотирикутники ОЕАК і СМОР – два рівні прямокутники.

Він пояснив що таке число ірра­ціональне. Такими числами виража­ються відношення довжин несумір­них відрізків. Можливо, що до їх вивчення Евклід прийшов, виводячи алгоритм (правило) знаходження спільної міри двох відрізків, тобто такого третього відрізка, який вкладається в першому і другому ціле число разів. Щоб знайти спільну міру двох відрізків, накладемо менший відрізок на більший так, щоб утворилася остача, менша від меншого відрізка, потім цю першу остачу відрізка (якщо вона є) —на менший відрізок, далі на першу остачу — другу, на другу — третю і т., аж поки якась з остач не вкладеться ціле число разів у попередній остачі. Це число і буде спільною мірою двох відрізків. Якщо ж процес нескінченний, то відрізки — несумісні. Процес, за допомогою якого знаходять спільну міру двох відрізків називають алгоритмом Евкліда.

Величезне значення діяльності Евкліда у тому, що він підсумував і узагальнив всі попередні досягнення грецької математики і створив фундамент для її дальшого розвитку. Історики вважають, що «Начала» — це обробка творів попередніх грецьких математиків X-IV ст до н. е. Історичне значення «Начал Евкліда полягає в тому, що це була перша наукова праця, в якій зроблено спробу дати аксіоматичну побудову геометрії.

Аксіоматичний метод, що є провідним у сучасній математиці, своїм виникненням великою мірою зобов'язаний Евкліду. Жодна наукова праця не мала такого великого успіху, як «Начала» Евкліда. З 1482 р. «Начала» витримали понад 500 видань багатьма мовами світу.