Короткий математичний тлумачний словник (А.С.Бугай, Київ, 1964)

А

АЛГЕБРА [від арабського aldjebr – поновлення, або відновлення] – одна з провідних галузей сучасної мате­матики, а також один з предметів шкільного навчання. Слово aldjebr уперше зустрічається в творі ал-Хорезмі (IX ст.). Цей твір був присвячений розв'язанню рівнянь 1-го і 2-го степенів. Пізніші переклади зробили слово aldjebr назвою всієї науки «алгебри», яка довгий час була наукою про рівняння.

Зародження алгебри слід віднести до тих часів, коли в арифметику почали вводити невідому величину і спе­ціальний символ для її позначення, формулювати загальні правила розв'язування арифметичних задач певного типу і в зв'язку з цим складати й розв'язувати рівняння. У цьому розумінні певні алгебраїчні факти були відомі ще в Стародавніх Вавілоні і Єгипті, в Індії і Китаї. Досягнення старогрецьких математиків відображені в «Началах» Евкліда і в «Ариф­метиці» Діофанта, який почав систематично застосову­вати алгебраїчні символи. З часів ал-Хорезмі, який також обмежувався розглядом рівнянь тільки 1-го і 2-го степенів (з одним невідомим), алгебра стає окремою галуззю математики. Омар Хайям поповнив її (1064-1071) геометричною теорією розв'язання рівнянь 3-го степеня. У Західній Європі велику роль у розвитку арифметики й алгебри відіграла книга Леонардо Ліван­ського «Liber аbасі» (1202). Італійські вчені XVI ст. С. Ферро, Н. Тарталья, Дж. Кар­дане дали алгебраїчний розв'язок рівнянь 3-го, а Л. Фер-рарі – 4-го степенів. Розвиток алгебраїчної символіки) дав можливість Ф. Вієту ство­рити буквене числення (1591), яке значно удосконалив Р. Декорт (1637). Це зумовило не тільки дальший розвиток алгебри, а й привело до виникнення геоме­трії аналітичної і аналізу математичного. Доведення К. Гауссом (1799) алгебри основної теореми, П. Руффіні (1799) і Н. Абелем (1824) — теореми про неможливість роз­в'язання в радикалах загального рівняння 5-го (і, отже, ви­щого) степеня з одним невідомим, визначення Е. Галуа (1830-1832) необхідних і достатніх умов розв'язання в радикалах алгебраїчного рівняння будь-якого степеня в основному вичерпали алгебру як науку про розв'язу­вання рівнянь, як учення про многочлени. Поряд з цим у ній дедалі більше уваги приділялося від'ємним, ірраціональ­ним, комплексним числам, які природно ввійшли в мате­матику при розв'язуванні рівнянь. У зв'язку з вивченням систем лінійних рівнянь поступово виникає теорія визнач­ників і матриць. Після досліджень Галуа почали вивчати алгебраїчні числа, а також групи, що мало особливо ве­лике значення для дальшого розвитку алгебри. Це при­вело в кінці минулого століття до утворення нової точки зору на алгебраїчну науку і її предмет. У XX ст. основне місце в алгебрі займає вивчення властивостей алгебраїч­них операцій у довільних абстрактних системах об'єктів (наприклад, лінійна алгебра, теорія груп). Сучасна ал­гебра тісно пов'язана з теорією множин, більшість її теорій будується на основі відповідної системи аксіом. Вона значно впливає на розвиток інших розділів сучас­ної математики.

Визначну частку в розвиток алгебри внесли українські вчені, зокрема математики Київської алгеб­раїчної школи на чолі з Д. О. Граве, до складу якої входили такі видатні вчені, як О. Ю. Шмідт, М. Г. Чеботарьов, Б. М. Делоне та ін.

АРИФМЕТИКА [грецьке arithmetike] – нау­ка про числа; основою слова є arithmos – число; другу частину слова деякі автори виводять від грецького techne – мистецтво, і тоді арифметика – це число­ве мистецтво– наука про числа і дії над ними. Вивчає кількісні відношення реального світу.Їїї основою є вчення про натуральні і раціональні додатні числа та правила виконання дій над ними. Зміст арифметики як науки змі­нювався з часом; тепер до арифметики відносять арифметику теоретичну і теорію чисел.

Виникнення і розвиток арифметики, яка є найдавні­шим розділом математики, нерозривно пов'язані з ви­никненням основного її поняття – поняття числа та його розвитком і були обумовлені практичними потребами лічби та  найпростіших вимірювань,  потребами господарської діяльності людей. Найдавніші відомості про арифметичні знання люди мали вже за кілька тисячоліть до нашої ери. У стародавніх вавілонян і єгиптян арифметика мала в основному практичний  характер. У стародавніх греків вона стала теоретичною наукою: різні властивості чисел вивчали піфагорейці, яким, зокрема, приписують таблицю множення; Евклід виклав арифметику у геометричній формі в трьох книгах своїх «Начал»; Архімед присвятив питанням арифметики свій твір «Псамміт»; Нікомах з Герази (100 р.н.е.) написав перший відомий нам систематичний посіб­ник з арифметики; багато важливих її задач  розглянув Діофант у своїй «Арифметиці». Видатне значення для дальшого розвитку як арифметики, так і всієї математи­ки мало створення індійцями позиційної десяткової си­стеми числення, поширенню якої значно сприяла діяльність ал-Хорезмі й інших учених країн Арабського ха­ліфату, а в Європі—Леонардо Пізанського, автора кни­ги «Liber аbасі» (1202). Великий внесок в арифметику зро­били П. Ферма, Л. Ейлер, А. Лежандр, К- Гаусе, Г. Грасс-ман, Д. Пеано, П. Л. Чебишов, І. М. Виноградов. Першою друкованою книгою з арифметики в Росії була «Арифме­тика» Л. П. Магніцького (1703).

АБСУРД [від латинського absurdus – неблагозвучний, противний, безглуздий] – безглуздя. У математиці засто­совується метод зведення до абсурду – метод доведення від супротивного, відомий ще з часів Стародавньої Греції, коли він був особливо поширений. Суть методу полягає в тому, що для доведення якогось твердження припускають, що воно неправильне, і за допомогою логічних міркувань приходять до суперечності (абсурду).

АКСІОМА [грецьке аxіоmа – буквально гідність, повага, авторитет] – у переносному розумінні означає те, що внаслідок свого авторитету не підлягає сумніву, незаперечне. Уперше цей термін застосував старогрецький філософ Арістотель. Довгий час математики під аксіомами розуміли ті істини або положення, які внаслідок їх очевидності можна прийняти без доведення. У сучасній математиці терміну «аксіома» надають ширшого значення, а саме: аксіома – це одне з вихідних тверджень, які прийнято без доведення і покладено в основу якоїсь теорії.

Математичні аксіоми не є вільним витвором учених, а здобуті людством у процесі багатовікового досвіду і відбивають реальну дійсність. Однак у XIX ст. вчені часто твердили, що аксіоми вводяться в науку незалежно від досвіду, і тим самим намагалися відірвати математику від практики. Цих поглядів деякі зарубіжні математики додержуються й досі.

Розрізняють аксіоми загальні, які стосуються всіх скінченних величин (ціле більше від своєї частини; дві величини, кожна з яких дорівнює третій, рівні між собою і т. ін.), а також аксіоми окремих математичних дисциплін. Прикладом останніх є система аксіом у «Началах» Евкліда або система аксіом геометрії, яку запропонував Д. Гілберт (1899); її створення було результатом широкої наукової діяльності багатьох математиків ХІХ ст.., пов’язаної з відкриттям М.І.Лобачевським неевклідової геометрії. З того часу аксіоматичний метод дуже поширився в математиці.

АЛГОРИТМ, АЛГОРИФМ [латинське algorithmus]. Цей термін виник у XII ст. Більшість учених вважає, що слово алгоритм є перекручене прізвище ал-Хорезмі (IX ст.). Це слово часто ви­користовували середньовічні автори в назвах своїх праць з математики.

Поняття алгоритму є одним з основних математичних понять. Під алгоритмом розуміють точні вказівки щодо виконання в певному порядку деякої системи операцій для розв'язання задач певного типу. Отже, характерними ознаками алгоритму є його повна визначеність і масовість. Алгоритми, за якими розв'язання поставлених задач зводиться до чотирьох арифметичних дій, називають числовими. Вони відіграють дуже важливу роль у сучасній обчислювальній математиці. На основі певного алгоритму складають програму практичного розв'язання відповідної за­дачі на електронних математичних машинах. За їх допомогою можна автоматизувати . ті процеси розумової діяльності людини, для яких вдається побудувати алгоритм.

Прикладами алгоритмів можуть бути алгоритм множення в «стовпчик», алгоритм добування квадратного кореня на основі обернення формули квадрата суми, алгоритм Евкліда, алгоритм обчислення похідної, алгоритм гри в «хрестики – нулики» тощо. Велике теоретичне і практичне значення алгоритмів привело останнім часом до виникнення спеціального розділу математики – теорії алгоритмів.

АСИМПТОТА [від грецького (asymptotos) – такий, що не збігається]. Асимптотою кривої називають пряму (або криву) лінію, до якої необмежено наближається точка, рухаючись по кривій у нескінченність. Гіпербола має дві   асимптоти; коло  асимптот  не  має;  парабола не має  прямолінійних    асимптот. 

Б

БІНОМ [від латинського bi (s) — двічі і грецького vojioc (nomos) – частина, частка, член] — двочлен, тобто вираз, який є алгебраїчною сумою двох одночленів (мономів), наприклад, а + 2b. Біном — окремий випадок многочлена (полінома).

БІСЕКТРИСА [французьке bissectrice від латинських bis – двічі і secare – сікти, розтинати] – та, що розтинає надвоє. Бісектрисою кута називають пряму, яка проходить через вершину цього кута і ділить його пополам. Інакше —це геометричне місце точок, однаково віддале­них від сторін кута. У трикутнику бісектриса – це відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці – в центрі вписаного в трикутник кола.

 В

ВЕКТОР [латинське vector – той, що несе, або той, що везе] – це напрямлений відрізок, тобто відрізок пря­мої, якому приписано певний напрям. Позначають  (А – початок,  В – кінець  вектора), або . Зображають у вигляді відрізка прямої з стрілкою. Поняття вектора ввів У.Гамільтон (1846); воно відіграє велику роль у математиці, фізиці, механіці та ін. Кожну фізичну величину, задання якої визначається не тільки числом, а й напрямом, зображають відрізком певної величини та відповідного напряму і називають вектором; довжина вектора дорівнює числовому значенню цієї величини. Прикладами таких фізичних величин є сила, швидкість, прискорення, момент сили тощо. їх називають векторними величинами і часто ототожнюють з векторами (наприклад, кажуть: сила є вектор).

Розрізняють вектори вільні, ковзні і зв'язані залежно від означення поняття рівності векторів.

Вільні вектори вважають рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають рівні модулі. Вони не змінюють свого значення при паралельному перенесенні їх у будь-яку точку простору. Момент пари сил зображають вільним вектором.

Ковзні вектори вважаються рівними, якщо вони ле­жать на одній прямій, однаково напрямлені і мають рівні модулі. їх можна переносити уздовж прямої – лінії дії. Такими векторами зображають сили, прикладені до твердого тіла.

Зв'язані вектори вважаються рівними, якщо вони прикладені в одній точці, однаково напрямлені і мають рівні модулі (вектор сили, прикладеної до точки пружного тіла).

ВІДРІЗОК— частина прямої між двома її точками. Іноді під відрізком розуміють множину точок х числової прямої, які задовольняють умову а < х < b, де а і b – координати кінців відрізка. Відрізок, як і сегмент, часто позначають [а, b].

     А-В  Г-З  I-Л П Р-С T-У