Математичний словник

П

ПАРАБОЛА [грецьке  (parabole), від (parabollein) – прикладаю, порівнюю] – незамкнена алгебраїчна лінія другого порядку, один з конічних перерізів. Параболу означають як геометричне місце точок площини, однаково віддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директри­си). Якщо в прямокутній системі .координат   узяти    за  фокус   точку F(p/2;0), а за директрису – пряму х = - p/2 (р – довільне   число),    то рівняння параболи матиме вигляд у² = 2рх (канонічне рівняння пара­боли); число р називається пара­метром параболи і визначає сту­пінь розхилу її віток. Ця парабола симетрична від­носно осі абсцис і проходить через   початок   координат (вершина параболи). Якщо за вісь Y узяти вісь симетрії параболи, а початок координат вибрати у вершині, то рівняння параболи буде х² = 2ру. Парабола є також гра­фіком квадратного тричлена у = ах² + bх+ с. 

ПАРАЛЕЛЕПІПЕД [від грецьких  (parallelos) – паралельний і (epipedos) – рівне, плоске] – шестигранник, обмежений шістьма попарно паралельними площинами. Він має 8 вершин і 12 ребер. Грані парале­лепіпеда – попарно рівні паралелограми. Паралелепіпед називають прямим, якщо його бічні грані є прямокутни­ками, і прямокутним, якщо всі його грані прямокутні, В окремому випадку, коли всі грані паралелепіпеда квад­рати, матимемо куб. Діагоналі паралелепіпеда перетина­ються в одній точці, яка ділить їх пополам. Його об'єм дорівнює добутку площі основи на висоту. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

ПАРАЛЕЛОГРАМ [від грецьких (parallelos) – той, що йде поруч (паралельний), і (gramma) – риска, лінія] – чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні. Сторони паралелограма попарно рівні; рівні також протилежні кути. Паралелограм, в якого один кут (а значить, і кожний його кут) прямий, є прямокутником. Паралелограм, в якого всі сторони рівні, назива­ють ромбом. Ромб, кути якого прямі, є квадратом. Діагоналі паралелограма, перетинаючись, діляться попо­лам, його площа дорівнює добутку основи на висоту.

 ПАРАЛЕЛЬНИЙ [від грецького (parallelos) – той, що йде поруч]. Цей термін характеризує одночасні подібні процеси (паралельна робота двигунів, паралельні реакції) або   явища, які  мають  аналогію з паралельними прямими (паралельне переслідування, паралельні струми, паралельне сполучення провідників тощо). Це поняття відіграє важливу роль у математиці. Узагальненням його є поняття колінеарний.

 ПАРАМЕТР [від грецького (parametreo) – вимірюю що-небудь, порівнюючи з чим-небудь іншим] – стала величина, яка в даних умовах не змінює свого зна­чення. Наприклад, у рівнянні кола (х-а)²+ (у-b)² = R² величини а, b і R є параметрами кола; вони визначають положення кола на площині і його радіус і для даного кола мають стале значення.

 ПЕНТАГРАМА [грецьке (pentegrammon), від icsvts (pente) – п'ять і (gramme) – лінія, риска] – правильний п'ятикутник, на сторонах якого побудовано однакові рівнобедренітрикутники;п'ятикутна зірка. Якщо бічні сторони трикутників є продовженнями сторін п'ятикутника, то пентаграма є правильним зірчастим п'ятикутником. Пентаграма була відома ще в кам'яному віці і вважалася «магічною фігурою».

 ПЕРІОД [від грецького (periodos) – обхід, кру­говий обхід; складається з тарі (peri) – біля, навколо і (hodos) – дорога, шлях]. У математиці періодом на­зивають: а) групу цифр, що повторюється в періодичному десятковому дробу; б) число р > 0, на яке можна змінити будь-яке значення незалежної змінної, не змінюючи при цьому значення функції: f (х+ р)=f (х). Наприклад, число 2π є періодом функцій sin x, cos x та ін. У колив­ному або обертальному русі періодом (коливання, обертан­ня) називають проміжок часу, за який тіло робить одне повне коливання або один оберт.

 ПЕРИМЕТР [від грецьких  (peri) – навколо і  (metreo) – міряю, вимірюю] – буквально обвід, довжина замкненої кривої; найчастіше сума довжин усіх сторін плоского многокутника, ламаної лінії.

 ПЕРПЕНДИКУЛЯР [від латинського perpendicularis — прямовисний] – пряма лінія, яка утворює прямий кут з даною прямою або площиною, чи її відрізок, одним з кінців якого є точка перетину (основа перпендикуляра) з даною прямою або площиною. Такі прямі або пряму і площину називають взаємно перпендикулярними. Дві пло­щини називають взаємно перпендикулярними, якщо ліній­ний кут утвореного ними двогранного кута – прямий. 

ПІ, π – буква грецького  алфавіту. Нею  починається слово (periphereia) – край  або  обвід круглого тіла, і тому букву π  взяли для позначення відношення довжини кола до його  діаметра.  Символ став загально­визнаним   завдяки   Л.Ейлеру. π = 3,1415926... – трансцендентне чис­ло. Воно має  велике значення для виробничої практики, і тому протягом тисячоліть  математики багато попрацю­вали над його визначенням.

 ПІРАМІДА [від грецького (pyramis), мабуть, від єгипетського   peremus – діагональ    основи    піраміди) – многогранник, основою якого є многокутник (основа піра­міди), а інші грані – трикутники, що мають спільну вер­шину (вершина піраміди). Піраміду можна розглядати як тіло, обмежене конічною поверхнею, напрямною якої є мно­гокутник, тобто многогранним конусом, і площиною,  яка перетинає всі її твірні. Відстань Н від вершини до основи піраміди називають її висотою. Піра­міду називають правильною, якщо її основа – правильний многокутник, а  бічні   грані – рівнобедрені   (а значить, і рівні)   трикутники.   Висоти   цих  трикутників   називають апофемами піраміди. Трикутна піраміда називається тет­раедром.

 ПЛАНІМЕТРІЯ – геометрія на пло­щині; розділ шкільного курсу геометрії, в якому вивчаються властивості плоских фігур. Його змістом є в основному матеріал І-VI книг «Начал» Евкліда, значно спрощений і скорочений.

 ПЛОЩА – одне з основних понять геометрії, що сто­сується частин площини "або довільної поверхні (фігур). До цього поняття ми приходимо через .необхідність дати кожній фігурі числову характеристику, яка задоволь­няла б такі умови:

1)    кожній плоскій фігурі якогось класу (в тому числі кожному многокутнику) відповідає певне додатне число, яке називають її площею;

2)    площа фігури не залежить від положення фігури, тобто конгруентні фігури мають рівні площі;

3)    якщо фігура F складена з двох фігур F₁ і F₂, що не перекриваються, то площа всієї фігури F дорівнює сумі площ її частин F₁ і F₂;

4)    квадрат, довжина сторони якого дорівнює 1, має площу, яка дорівнює 1.

 ПОДІБНІСТЬ.   Два трикутники називають подібними, якщо їх кути попарно рівні, а відповідні сторони, тобто сторони, які лежать проти рівних кутів, пропорціональні. Два многокутники або взагалі два тіла називають подіб­ними,   якщо між їх  точками можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якій будь-які трикутники з вершинами,   що лежать у відповідних точках, подібні. Однойменні правильні многокутники подібні між собою; подібні також усі кола, кулі. У подібних фігурах кути між кожними  двома  лініями  однієї фігури дорівнюють кутам між відповідними лініями другої фігури, а відно­шення  віддалі  між двома точками однієї фігури до від­далі між відповідними точками другої дорівнює сталому числу, що називається коефіцієнтом подібності. Рівність фігур є окремим  випадком  подібності,   коли  коефіцієнт подібності   дорівнює  одиниці.   Подібність двох  геометричних  фігур означає,  що  вони, незалежно від розмірів і положення в   просторі,  мають   однакову   форму.   Якщо   ж   подібні фігури   розміщені   так,   що   всі   промені,   проведені   з якоїсь   точки    через   точки    однієї    фігури,    проходи­тимуть через відповідні  точки  другої, то це буде гомо­тетія.

Геометричне перетворення площини або простору, при якому кожний трикутник переходить у подібний йому трикутник, називають подібним перетворенням. Воно широко застосовується при кресленні і побудові моделей. На практиці для цього використовують пантограф і пропорціональний циркуль.

Учення про подібні фігури виникло ще в Стародавній Греції. Зокрема, у «Началах» Евкліда виклад питання подібності базується на вченні про пропорціональність відрізків.

 ПОДІЛЬНІСТЬ. Ціле число а ділиться на деяке від­мінне від нуля ціле число b тоді, коли існує таке ціле число с, що а = bc. При цьому число с визначене одно­значно. Число а називають кратним чисел b і с, а числа b і с – дільниками числа а.

З подільністю чисел пов'язані важливі задачі теорії чисел: знаходження спільних і найбільших спільних дільників двох або кількох чисел і знаходження кратних і найменших спільних кратних двох або кількох чисел. З цими задачами ознайомлюють учнів у курсі арифметики середньої школи.

Основи вчення про подільність цілих чисел створили старогрецькі математики. Евклід створив алгоритм для знаходження найбільшого спільного дільника чисел. Теорія подільності почала розвиватися далі в XVII ст., зокрема в працях П.Ферма, який установив теорему (теорему Ферма малу), що відіграла значну роль у роз­витку теорії чисел. У дальшому значний вклад у теорію подільності і взагалі в теорію чисел зробили Л. Ейлер, К. Гаусе, П. Чебишов та інші видатні вчені.

Поняття подільності поширюється на многочлени, цілі алгебраїчні числа і т. д.

 ПОСЛІДОВНІСТЬ – нескінченна пронумерована сукуп­ність чисел, які називають елементами послідовності. Записують послідовність так: x₁, х₂,, х_п, …, х_п називають загальним членом послідов­ності. Послідовність можна розглядати як функцію, озна­чену на множині натуральних чисел. Задати послідов­ність— це означає назвати правило, за яким для кож­ного натурального п можна знайти відповідний елемент послідовності х_п. Важливим є поняття границі послідов­ності. Послідовність, яка має границю, називають збіж­ною.

 ПОХІДНА – поряд з диференціалом основне поняття диференціального числення. Похідною функції y = f(x) в точці х називають границю, до якої прямує відно­шення ^Δy/_Δx приросту функції Δy= f(x+Δx) - f(x) до при­росту незалежної змінної (аргумента)Δx, коли Δx прямує до нуля.

Поняття похідної ввів Ж.Лагранж (1798), до цього користувалися поняттям диференціального коефіцієнта ^dy/_dx  як відношення диференціалів.

 ПРИЗМА [грецьке (prisma), від (ргіо) – пиляю, – буквально відпиляний кусок] – геометричне тіло, обмежене циліндричною поверхнею, напрямною якої є многокутник (призматична поверхня), і двома паралельними площинами, що її перетинають. Це – многогранник, дві грані якого (основи) є рівними многокутниками з відповідно паралельними сторонами, а інші грані (бічні) – паралелограми. Призму називають прямою, якщо площини всіх її бічних граней перпендикулярні до основ. Пряму призму називають правильною, якщо її основи — правильні многокутники. Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту (тобто на відстань між площи­нами основ).

 ПРОГРАМА [грецьке (programma) – об'ява, наказ; (pro) – вперед і (gramma) – риска, лінія] – план накресленої діяльності, роботи. Щоб розв'язати якусь задачу на лічильній математичній машині, складають програму, тобто всерозв'язання розбивають на ряд  послідовних  простих операцій – команд.  Отже, програма  є докладним  записом алгоритму  розв'язання якоїсь задачі у вигляді, пристосованому для практичного розв'язання на машині. Складання програми називають програмуванням

 ПРОГРЕСІЯ [від латинського progressio – рух вперед, зростання] – послідовність (ряд) чисел (членів прогресії) а₁ , а₂,  , а_п, ... , складена за певним законом, напри­клад: прогресія арифметична, прогресія гармонічна, про­гресія геометрична. Вивчення прогресій (арифметичної і геометричної) займає значне місце в курсі алгебри се­редньої школи.

 ПРОЕКЦІЯ [від латинського projectio – кидання впе­ред] – одне з основних понять геометрії. Нехай дано якусь площину Р (площину проекцій) і точку S поза площиною (центр проекцій). Проекцією точки А на площину Р на­зивають точку А' перетину прямої SA з цією площиною. Точку А' називають образом, а точку А — прообразом. Пряму SA називають проектуючою прямою. Проекцією фігури F на площину Р називають геометричне місце F' проекцій усіх точок цієїфігури. Розглянуту проекцію нази­вають центральною, або конічною. Якщо центр проекцій – нескінченно віддалена точка, інакше кажучи, якщо про­ектуючі прямі паралельні між собою, проекцію називають паралельною,   або   циліндричною.    Найбільш   уживаною циліндричною проекцією є ортогональна, або прямокутна проекція, в якій проектуючі прямі перпендикулярні до площини проекцій, на відміну від косокутної проекції, в якій вони не перпендикулярні. Аналогічно означають проек­цію точки на пряму.

 ПРОЦЕНТ [від латинського pro centum – на сто] – сота частина числа. Позначається %. Проценти застосовували ще в стародавні часи. Поняття процента використовується в найрізнома­нітніших питаннях, пов'язаних з обліком, плануванням та ін. При банківських розрахунках користуються склад­ними процентами.

                                                                                              А-В  Г-З  I-Л П Р-С