Математичний словник

Г

ГЕОМЕТРІЯ [грецьке geometria — землевпо­рядкування (землеміряння), від ge або gea – земля і metreo – міряю, вимірюю]. Походження терміну «геометрія» з'ясував Евдем Родоський (320 р. до н. е.): «Геометрія була відкрита єгиптянами і виник­ла у зв'язку з розливами ріки Нілу, які постійно зми­вали межі. Немає нічого дивного в тому, що ця наука, як і інші, виникла з потреб людини. Усяке знання, що виникає з недосконалого стану, переходить у досконалий. Зароджуючись через чуттєве сприймання, воно поступово стає предметом нашого розгляду і, зрештою, стає над­банням розуму». Як у Єгипті, так і у Вавілоні, Китаї, Індії багато геометричних відомостей було добуто в ре­зультаті практики будівництва зерносховищ, будинків, іригаційних споруд тощо. У стародавніх греків «геомет­рія» означала вже математичну науку, а для науки про вимірювання землі було введено термін геодезія.

Геометрія – математична наука про просторові фор­ми і відношення тіл. У більш загальному розумінні гео­метрія охоплює різноманітні математичні теорії, прина­лежність яких до геометрії визначається не тільки схо­жістю їх предмета із звичайними просторовими формами і відношеннями, а також і тим, що вони історично скла­лись і складаються на основі геометрії в первісному її значенні і в своїх побудовах виходять з аналізу й узагаль­нення досвіду оперування з просторовими відношеннями і формами конкретних тіл. Геометрія в цьому загально­му розумінні тісно переплітається з іншими розділами математики, і її межі не є точними.

У розвитку геометрії можна вказати чотири основні періоди, переходи між якими означали якісні зміни в геометрії.

Перший період – період зародження геометрії як ма­тематичної науки, початок якого губиться в глибині століть, а кінцем можна вважати V ст. до н. е. Це був період установлення перших залежностей між геометрич­ними образами і нагромадження фактів. Почався він у Стародавньому Єгипті і Вавілоні. У VII ст. до н. е. початкові геометричні відомості були перенесені в Гре­цію, де протягом кількох століть доповнювались новими фактами і оформлялись у струнку систему на основі знайдених способів доведень.

Другий період – період створення і дальшого розвит­ку геометрії як самостійної науки. Починається він при­близно в V ст. до н. е., коли Гіппократ Хіоський зробив спробу систематичного викладу геометрії. Дійшли до нас і відіграли вирішальну роль «Начала» Евкліда, що з'яви­лися близько 300 р. до н. е. Тут геометрію було подано так, як її в основному розуміють і тепер, якщо обме­жуватись елементарною геометрією, – як науку про най­простіші просторові форми і відношення, яка розвиває­ться в логічній послідовності на основі явно сформульо­ваних основних положень – аксіом і основних просторових уявлень. Це так звана геометрія Евкліда. Протягом другого періоду геометрія Евкліда, зберігаючи основні принципи, збагачувалась новими фактами і методами. Розвиткові геометрії сприяли вчені Греції, арабського Сходу, Середньої Азії, Індії, Китаю, середньовічної Європи.

Третій період починається в XVII ст., коли заро­дження і бурхливий розвиток капіталізму дали поштовх розвиткові природознавства і математики. Р. Декорт вводить у геометрію метод координат, що приводить зго­дом до виникнення геометрії аналітичної і пізніше гео­метрії диференціальної. На цьому етапі геометрія як наука набуває істотно нових якостей — вона вже розгля­дає набагато загальніші фігури і застосовує істотно нові методи. Ці напрями остаточно оформились у працях Л. Ейлера (1748), А. Клеро (1742), Г. Монжа (1795), К. Гаусса (1822). Геометрія проективна зародилась у першій половині XVII ст. в працях Ж. Дезарга і Б. Па­скаля, а оформилась у працях Ж. Понселе (1822) та ін. Г. Монж заклав основи геометрії нарисної.

Четвертий період розвитку геометрії починається з відкриття М.І.Лобачевського (1826, опубліковано 1829-1830), який побудував нову, неевклідову геометрію, що називається тепер геометрією Лобачевського. Незалежно від М. І. Лобачевського в 1832 р. аналогічну працю опублікував угорський учений Я. Бойяй, але в менш розвинутій формі. Ідеями неевклідової геометрії володів і К. Гаусе, але він за свого життя з цього питання нічого не опублікував. Відкриття М. І. Лобачевського мало велике значення як для самої геометрії, так і для інших математичних наук. Ідеї Лобачевського і Гаусса розвинув Б. Ріман (1854). У напрямах, накреслених видатни­ми математиками минулого століття, розвивається сучас­на геометрія. Одним з важливих розділів сучасної гео­метрії є топологія. Геометричні теорії тісно переплітаю­ться з іншими галузями математикзокрема з алгеброю.

ГЕКСАЕДР (ЕКСАЕДР) [hex – шість hedra – основа, поверхня, сторона] –шестигран­ник, тіло, обмежене шістьма площинами, гранями (сторо­нами). Правильним гексаедром, одним з п'яти типів пра­вильних многогранників (платонових тіл), є куб.

ГЕКТАР [французьке hectare, від грецького hekaton – сто і латинського area — площа, поверхня] – метрична одиниця площі, земельної міри, що дорівнює 100 арам, або 10 000 кв. м. Скорочено позначається га.

ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК – сукупність точок площини або простору, до якої належить кожна точка, що задовольняє певні умови; жодна точка, яка їх не за­довольняє, до цієї сукупності не належить. Під геометричним місцем точок розуміють звичайно лінію або по­верхню. Наприклад, коло (сфера) – це геометричне місце точок площини (простору), однаково віддалених від даної точки – центра.

ГІПОТЕЗА [від грецького hypothesis – осно­ва, допущення, припущення] – науково обґрунтоване припущення, що пояснює відому сукупність явищ. Гіпо­теза стає вірогідною науковою теорією, якщо дослідна перевірка або виявлення нових фактів підтверджують її правильність. Гіпотези відіграють важливу роль у біль­шості наук, концентруючи зусилля дослідників у пев­ному напрямі. У математиці особливо часто користують­ся гіпотезами при доведеннях за допомогою індукції математичної. 

ГІПОТЕНУЗА [від грецького hipoteinousa – той, що натягує, стягує] – сторона прямокутного три­кутника, що лежить проти прямого кута. У Евкліда вона так і називається: «сторона, що прямий кут стягує». Можливо, що ця назва пов'язана з практикою побудови прямих кутів на основі теореми, оберненої до теореми Піфагора, за допомогою вірьовки, поділеної на 12 частин (трикутник з сторонами 3, 4 і 5 — прямокутний). 

ГРАДУС [латинське gradus – крок, ступінь] – одини­ця міри плоских кутів (дуг), що дорівнює ¹/₃₆₀ частині плоского центрального кута, який спирається на повне коло; позначається °. Градус поділяється на 60 мінут (1° = 60'), а мінута — на 60 секунд (1'= 60"). Градус застосовують і як одиницю для вимірювання дуг кола. Повне коло дорівнює 360°. 

Довжина дуги кола в 1° дорівнює ^2πR/₃₆₀≈0,0174533R, де R – радіус кола.

Д

 ДЕДУКЦІЯ [від латинського deductio – виведення, відведення, введення] – це логічний умовивід від загаль­ного до конкретного, від загальних суджень до частко­вих або менш    загальних висновків. У науковому пізнанні дедукція нерозривно зв'язана з індукцією.

Дедуктивний метод полягає в тому, що кожне нове твердження виводиться з сукупності раніше встановлених тверджень. Фактично більшість геометричних теорем виводиться дедуктивним методом, проте не завжди у формі строго розчленованих ланцюгів або низки силогізмів. Дедуктивна система побудови або викладання якоїсь теорії полягає в тому, що насамперед встановлюється система первісних понять і первісних відношень між ними. Потім формулюється система аксіом, яка встановлює взаємозв'яз­ки між первісними поняттями і до деякої міри визначає основні поняття та основні відношення між ними. На цій базі вводяться нові похідні поняття за допомогою означень і доводяться різні твердження та наслідки з них.

Теорію дедукції вперше розробив Арістотель (IV ст. до н. е.). У XVII ст. цим питанням займався Р.Декарт.

ДЕКА...   [грецьке deka – десять] застосо­вується в метричній системі мір для десятикратного збільшення оснозної одиниці, наприклад, 1 декаметр (дам) — 10 м, 1 декалітр (дал) = 10 л тощо.

ДЕКАЕДР [від грецьких deka – десять і  hedra – основа, поверхня, сторона]—десятигранник, тобто тіло, обмежене десятьма плоскими гранями. 

ДЕЦИ .. [від латинського decern — десять] застосову­ється в метричній системі мір для зменшення основної одиниці в десять раз, наприклад, 1 дециметр (дм) = = 0,1 м, 1 дециграм (дг) — 0,1 г, 1 децилітр (дл) = 0,1 л тощо.

ДІАГОНАЛЬ [від грецьких dia –через, крізь і goni – кут]. Діагоналлю многокутника називають відрізок прямої, що сполучає дві його вершини,  які  не лежать на одній стороні; n-кутник має ^n(n-3)/₂ діагоналей. Діагональ многогранника — відрізок прямої, що сполучає дві його вершини, які не належать одній грані.

ДІАМЕТР [від грецького diametros – попе­речник]. Діаметром кола (кулі) називають відрізок прямої, що проходить через центр кола (кулі) і обмежений точ­ками перетину цієї прямої з колом (поверхнею кулі). Діаметр кола (кулі) є найбільшою його (її) хордою. Цю властивість діаметра можна взяти за його означення. Діаметром називають також довжину зазначеного відріз­ка. У цьому розумінні діаметр дорівнює двом радіусам. Властивість діаметра ділити коло на дві рівні частини встановив ще Фалес Мілетський (VI ст. до н. е.). Йому також приписують твердження, що вписаний кут, який спирається на діаметр, — прямий.

Діаметром кривої другого порядку називають геомет­ричне місце середин паралельних між собою хорд. Діа­метри еліпса і гіперболи проходять через їх центри; діаметри параболи — прямі, паралельні її осі.

У розумінні поперечника поняття діаметра поширю­ють на будь-які геометричні фігури і множини. Діамет­ром фігури (множини) називають тоді точну межу верх­ню відстаней між різними парами точок, що їй належать. У цьому розумінні діаметр-еліпса дорівнює довжині ве­ликої осі, а діаметр квадрата — довжині його діагоналі.

ДОДЕКАЕДР [від грецьких dodeka – двана­дцять hedra – основа, поверхня, сторона] — два­надцятигранник; це тіло, обмежене дванадцятьма п'яти­кутниками; має З0 ребер, 20 вершин, у кожній з яких сходиться 3 ребра. Правильний додекаедр є одним з п'яти видів правильних многогранників (платонових тіл). Він обме­жений дванадцятьма правильними п'ятикутниками.

                                  З

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ, ЗОЛОТИЙ ПОДІЛ [латинське sectio aurea] – поділ даного відрізка в крайньому і середньому відношенні, тобто поділ відрізка а на дві частини, більша з яких х є середнє пропорціональне між усім відрізком   і   його меншою  частиною a:x=x:(a-x). Звідси х²+ах—а²=0 і  х≈0,62а. Наближені значення дають члени послідовності 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21  і т.д., де 1, 1, 2, З, 5, 8, 13, 21 і т. д. – числа Фібоначчі.

Задача про золотий переріз уперше зустрічається в другій книзі «Начал» Евкліда: «Дану пряму (тобто від­різок за сучасною термінологією) розсікти так, щоб пря­мокутник між цілою і одним з відрізків дорівнював квадратові на решті відрізка». Евклід застосовує золотий переріз при побудові правильних п'яти- і десятикутників, дванадцяти- і двадцятигранників. Проте про золотий переріз очевидно, знали ще піфагореіїці, які вміли будувати правильний п'ятикутник і геометрично розв'язувати задачі, що зводяться до квадратних рівнянь. У середні віки європейські вчені ознайомились із золотим  перерізом з арабських перекладів «Начал» Евкліда. У зв'язку з за­стосуванням золотого перерізу в геометрії,  мистецтві, особливо в архітектурі, інтерес до нього в XV-XVI ст. значно зростає. Леонардо да Вінчі дає йому назву «золотий». Лука Пачіолі присвятив золотому перерізу книжку «Божественна пропорція» (1509). Значну увагу приділяв цьому перерізу Й. Кеплер, який пов'язував його з будовою Всесвіту. Вважали, що золотий переріз є нібито універсальною пропорцією, яка властива як найдоскона­лішим витворам природи, так і найкращим творам ми­стецтва. Йому надавали містичного значення.

           А-В  Г-З  I-Л П Р-С T-У