П`ятниця, 11.10.2024, 21:54 Вітаю Вас Гість | Реєстрація | Вхід |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Історична мозаіка в математиці | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Піфагор Самоський (близько 580—500 pp. до н. е.)
Після Фалеса Мілетського визначну роль у розвитку математики відіграв видатний представник еллінської культури – філософ і математик Піфагор. Точних історичних даних про життя і діяльність Піфагора не збереглося. За переказами, Піфагор народився близько 580 р. до н.е. на о.Самос біля іонійського узбережжя Середземного моря, в багатій купецькій сім'ї. Перші наукові знання він здобув від ученого Ферекіда з м. Сіроса. Згодом Піфагор познайомився з уже відомим на той час філософом-математиком Фалесом і за його порадою вирушив до Єгипту – центру тодішньої наукової і дослідницької діяльності. Проживши в Єгипті 22 роки і у Вавілоні 12 років, він здобув глибокі знання з природничих і математичних наук. Повернувшись на о. Самос, Піфагор планував створити філософську школу. Але з невідомих причин він незабаром залишив Самос і оселився в м. Кротоні — грецькій колонії на півдні Італії. Тут Піфагор знайшов сприятливі умови для своєї діяльності. Він зібрав навколо себе групу однодумців, головним чином аристократів, і створив таємний гурток. Члени гуртка вивчали різні питання філософії і математики. Піфагорійська школа розширювалася, з'явилися її відділення в інших містах. Але діяльність піфагорійців мала таємний характер. Нових членів до школи Піфагора приймали за особливим ритуалом. Кожний новий член гуртка давав клятву зберігати в таємниці все, що відбувається у школі, а також не розповідати нічого про її засновника Піфагора, якого вважали пророком. Члени піфагорійської школи мали спеціальний знак – пентаграму (правильний п'ятикутник), за яким вони впізнавали один одного. Щоб зрозуміти роль піфагорійської школи в розвитку математичної науки, слід охарактеризувати її філософське вчення. Піфагорійці вважали, що в природі існують дух і матерія, і надавали числам містичного значення. Вони гадали, що речі — це відображення чисел, число — це закон і зв'язок світу, це сила, яка керує богами і смертними. Тому природу і всевладну силу числа можна бачити не тільки в ділах божих, а й в усіх людських заняттях — мистецтві, ремеслах, музиці. Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжини. Він визначив також, що коли довжини струн відносяться як 6:4:3, то при одночасному звучанні вони дають приємний гармонійний акорд; якщо ж ці числа змінити, то звукова гармонія порушується. Піфагор поширив закон гармонії на інші явища природи, узагальни його. Але це привело до деяких неправильних висновків. Наприклад, піфагорійці вважали, що радіуси небесних сфер (їх вони налічували 10), обертаючись навколо «центрального вогню», перебувають у такому самому відношенні, як і довжини струн, що утворюють гармонію. Вони твердили, що небо є число і гармонія. Позитивним тут був здогад про те, що земля рухається. Виходячи із своїх ідей, піфагорійці проводили дослідницьку робот в математиці. Вони комбінували числа і, надаючи їм містичного значення, ділили їх на числа добрі – непарні числа; злі – парні числа: досконалі – кожне з яких дорівнює сумі своїх дільників (якщо з числа дільників виключити саме число). Наприклад, досконалим числом є 6 ( бо сума його дільників 1, 2, 3 дорівнює шести. Числа дружні – це числа, з яких одне дорівнює сумі дільників другого, але також без цього самого числа. Були в них числа пірамідальні, многокутні т. д. Зокрема, прямокутним називали ціле число, що дорівнює добутку двох інших цілих чисел. Піфагор геометрично довів, що суми послідовних непарних чисел починаючи з одиниці, є точними квадратами. Наприклад, 1+3 = 4 = 22, 1+3+б = 9 = 32, 1+3 + 5 + 7 = 16 = 42, 1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 і т. д. Вивчаючи натуральний ряд чисел піфагорійці встановили таку властивість сум послідовних чисел: 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 і т. д. Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями. Піфагорійці розрізняли три види пропорцій: арифметичну, геометричну і гармонічну. Отже, Піфагора та його учнів числа цікавили тільки в теоретичному плані. Вивчення дій з числами піфагорійців цікавило мало. Але дослідження, проведені піфагорійцями над числами та їх властивостями, поклали початок новій науці – геометричній алгебрі. Величини розглядалися тут як відрізки. Це мало величезне значення для дальшого розвитку математики. Дослідження Піфагора та його учнів у галузі геометрії також були досить успішними. Але і в геометрії вони шукали підтверджень своїх філософських ідеалістичних поглядів і відповідно пояснювали геометричні істини. Так, піфагорійці твердили, що всі геометричні тіла визначаються співвідношенням їх числових характеристик. Куб, наприклад, визначається числами 2, 6 і 8 за кількістю ребер, граней і вершин. Велику увагу піфагорійці приділяли дослідженням властивостей прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Можна припустити, що найпростіший з таких трикутників, так званий єгипетський трикутник з сторонами 3, 4, 5, був відомий Піфагору ще з часів його подорожі до Єгипту. Прямокутний трикутник піфагорійці вважали найкращою і найдосконалішою фігурою. Одним із способів побудови такого трикутника був поділ правильного трикутника пополам. Прямокутні трикутники, довжини сторін яких — цілі числа, утворюють окремий клас, для якого справджується теорема, названа ім'ям Піфагора, хоч вона була відома задовго до нього вавілонянам. За теоремою Піфагора сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі. Можливо, що вивчення властивостей прямокутних трикутників привело піфагорійців до відкриття несумірності відрізків. Але це відкриття суперечило філософській теорії про «гармонію світу». Виявилося, що числом не можна виміряти довжину прямолінійного відрізка — діагоналі квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Пояснити це Піфагор та його учні не могли, тому і тримали своє відкриття в суворій таємниці. Збереглась легенда, що один з піфагорійців, Гіпас, розголосив таємницю про ірраціональне число. Покараний богами за зраду, він загинув у морі під час бурі. Піфагорійці знали, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d, що навколо однієї точки на площині можна розмістити 4 квадрати, 6 правильних трикутників, 3 правильні шестикутники. Вони вміли будувати правильний п'ятикутник, цей спосіб побудови до нас не дійшов. Евклід у своїх творах приводить новий спосіб побудови такого трикутника, в якому не застосовується поділ радіуса описаного кола в кратному і середньому відношенні. Він спочатку будує вписаний рівнобедрений трикутник, у якому і при основі вдвоє більші від кута при вершині. Кути при основі мають по 72°, а при вершині — 36°. Якщо провести бісектриси кутів при основі, то коло поділиться на 5 рівних частин. (Це окрема задача). Можливо, що піфагорійцям цей спосіб побудови правильного вписаного п'ятикутника був відомий. Побудови правильних плоских фігур, зокрема п'ятикутника, а отже, і десятикутника, безпосередньо підвели піфагорійців до побудови правильних многогранників. За свідченнями деяких істориків Піфагор і його учні вміли будувати всі п'ять видів правильних многогранників і, зокрема, такі складні многогранники, як додекаедр або ікосаедр. Це було на той час значним досягненням. Деякі з істориків пізнішого часу свідчили, що піфагорійцям було відоме поняття ізопериметрії. Найпростіша ізопериметрична задача — це знаходження серед усіх кривих даного периметра тієї кривої, яка обмежує фігуру найбільшої площі. Піфагорійці знали розв'язок цієї задачі: кривою є коло. Просторовим аналогом ізопериметричної задачі є задача про відшукання замкненої поверхні заданої площі, яка обмежує тіло найбільшого об'єму. Шуканою поверхнею є сфера. При цьому, на догоду своїм релігійним уявленням про світ, вони стверджували, що куля є найблагородніша просторова фігура, а круг — найдосконаліша плоска фігура. В оцінці діяльності піфагорійців думки вчених розходяться, бо ніяких письмових документів їхньої школи не залишилось. Проте з впевненістю можна вважати, що Піфагор та його учні своїми дослідженнями внесли вагомий вклад у розвиток еллінської культури. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Copyright MyCorp © 2024 Безкоштовний хостинг uCoz |